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本文编写于 891 天前,最后修改于 352 天前,其中某些信息可能已经过时。

摘自 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html

这位大佬写的对理解 DP 也很有帮助,我就直接摘抄过来了,代码部分来自我做过的题。

问题描述

给定两个字符串,求解这两个字符串的最长公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1:BDCABA;字符串2:ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4,最长公共子序列是:BCBA

算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题,一般有两个特征:

  1. 最优子结构
  2. 重叠子问题

最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列,将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)。

找出 LCS(X,Y) 就是一个最优化问题。因为,我们需要找到 X 和 Y 中最长的那个公共子序列。而要找 X 和 Y 的 LCS,首先考虑 X 的最后一个元素和 Y 的最后一个元素。

  • 如果 xn = ym

即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同,这说明该元素一定位于公共子序列中。因此,现在只需要找:LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1) 就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题?因为它的规模比原问题小。(小一个元素也是小嘛....)

为什么是最优的子问题?因为我们要找的是 Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的!!!换句话说,就是最优的那个。(这里的最优就是最长的意思)

  • 如果 xn != ym

这下要麻烦一点,因为它产生了两个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 和 LCS(Xn,Ym-1)

因为序列 X 和 序列 Y 的最后一个元素不相等嘛,那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。(都不相等了,怎么公共嘛)。

LCS(Xn-1,Ym)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题,得到的公共子序列谁最长,那谁就是 LCS(X,Y)。用数学表示就是:

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于条件 xn = ymxn != ym 考虑到了所有可能的情况。因此,我们成功地把原问题 转化成了三个规模更小的子问题

重叠子问题

重叠子问题是啥?就是说原问题 转化 成子问题后, 子问题中有相同的问题。咦?我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊????

OK,来看看,原问题是:LCS(X,Y)。子问题有

  1. LCS(Xn-1,Ym-1)
  2. LCS(Xn-1,Ym)
  3. LCS(Xn,Ym-1)

初一看,这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的,因为它们只重叠了一大部分。举例:

第二个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 就包含了:问题LCS(Xn-1,Ym-1),为什么?

因为,当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时,我们又需要将LCS(Xn-1,Ym)进行分解:分解成:LCS(Xn-1,Ym-1) 和 LCS(Xn-2,Ym)

也就是说:在子问题的继续分解中,有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题,它具有重叠子问题的性质,因此:用递归来求解就太不划算了。因为采用递归,它重复地求解了子问题啊。而且注意哦,所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了,你说用递归求解,有指数级个子问题,故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题,难道用了动态规划,就变成多项式时间了??

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时,并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说:用了动态规划之后,有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的,而不是重新又计算一遍得到的。废话少说:举个例子吧!比如求Fib数列。关于Fib数列,可参考

lcs_detail1

求fib(5),分解成了两个子问题:fib(4) 和 fib(3),求解fib(4) 和 fib(3)时,又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出:根的左右子树:fib(4) 和 fib(3)下,是有很多重叠的!!!比如,对于 fib(2),它就一共出现了三次。如果用递归来求解,fib(2)就会被计算三次,而用 DP(Dynamic Programming) 动态规划,则 fib(2) 只会计算一次,其他两次则是通过”查表“直接求得。而且,更关键的是:查找求得该问题的解之后,就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归,是不断地将问题分解,直到分解为 基准问题 (fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多,还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧:)

lcs_detail2

c[i,j]表示:(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。(是长度哦,就是一个整数嘛)。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要,从中我们可以窥见最长公共子序列的来源,同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径。

lcs_detail3

最长公共子序列模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        lena=strlen(a);
        lenb=strlen(b);
        for(i=1;i<=lena;i++)
        {
            for(j=1;j<=lenb;j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
    }
    return 0;
}

最长公共子序列打印路径的模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int flag[N][N];
void Print(int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)///递归终止条件
    {
        return ;
    }
    if(!flag[i][j])
    {
        Print(i-1,j-1);
        printf("%c",a[i-1]);
    }
    else if(flag[i][j]==1)
    {
        Print(i-1,j);
    }
    else if(flag[i][j]=-1)
    {
        Print(i,j-1);
    }
}
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(flag,0,sizeof(flag));
        lena=strlen(a);
        lenb=strlen(b);
        for(i=1;i<=lena;i++)
        {
            for(j=1;j<=lenb;j++)
            {
                if(a[i-1]==b[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                    flag[i][j]=0;///来自于左上方
                }
                else
                {
                    if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];
                        flag[i][j]=1;///来自于左方
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j]=dp[i][j-1];
                        flag[i][j]=-1;///来自于上方
                    }
                }
            }
        }
        Print(lena,lenb);
    }
    return 0;
}

非递归

在这里因为是逆序的回溯,所以我使用了栈来存储路径

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1010
int dp[N][N];
char c;
int main()
{
    char a[N];
    char b[N];
    scanf("%s%s",a,b);
    int la=strlen(a);
    int lb=strlen(b);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=la; i++)
    {
        for(int j=1; j<=lb; j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    int i=la,j=lb;
    stack<char>s;
    while(dp[i][j])
    {
        if(dp[i][j]==dp[i-1][j])///来自于左方向
        {
            i--;
        }
        else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])///来自于上方向
        {
            j--;
        }
        else if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1])///来自于左上方向
        {
            i--;
            j--;
            s.push(a[i]);
        }
    }
    while(!s.empty())
    {
        c=s.top();
        printf("%c",c);
        s.pop();
    }
    return 0;
}

本文转载自:http://www.cnblogs.com/wkfvawl/p/9362287.html